Dos nuevas aplicaciones gráficas de Binary.com

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Transformaciones de Funciones

Las gráficas de las siguientes funciones f(x)=x, f(x)=x 2 y f(x)= ׀ x ׀ las conocemos. Cada una de ellas tiene una forma particular y sabemos cual es su forma general. En algunas ocasiones se nos pedirá trazar la gráfica de funciones parecidas a otras que ya conocemos. Estas se dibujan utilizando técnicas aplicadas a los modelos gráficos de cada función llamadas transformaciones. Estas transformaciones afectan la forma general de la gráfica de cada función. Las traslaciones, reflejos y las expansiones – compresiones son las transformaciones a estudiar.

Las traslaciones son transformaciones que cambian la posición de la gráfica de una función. La forma general de la gráfica de una función se traslada hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda. Las traslaciones son consideradas transformaciones rígidas. Ahora veremos como se realizan estas.

Traslaciones verticales (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Suponga que k > 0

Para graficar y=f(x)+k, desplace la gráfica de k unidades hacia arriba.

Para graficar y=f(x)-k , desplace la gráfica de k unidades hacia abajo .

Ejemplo 1: (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Utilizar la gráfica de f(x)=x 2 para bosquejar la gráfica de y = f(x) + 2 y y = f(x) – 2.

La gráfica de f(x)=x 2 se llamará gráfica de la función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; (-1, 1), (0, 0) y (1, 1).

La gráfica de y =f(x) + 2 es la gráfica modelo desplazada dos unidades hacia arriba. Por lo tanto en los puntos desplazados cambian las y, los nuevos puntos se obtienen sumando 2 a las y. Los nuevos puntos son; (-1, 3), (0, 2) y (1, 3) .

La gráfica y= f(x) – 2 es la gráfica de la función modelo desplazada dos unidades hacia abajo. Por lo tanto en los puntos desplazados cambian las y, los nuevos puntos desplazados se obtienen restando dos a las y. Los nuevos puntos son; (-1, -1), (0, -2) y (1, -1).

Traslaciones horizontales (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Suponga que h > 0

Para graficar y=f(x-h), desplace la gráfica de h unidades hacia la derecha.

Para graficar y=f(x+h) ,desplace la gráfica de h unidades hacia la izquierda .

Ejemplo 2: (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Utilizar la gráfica de f(x)=x 2 para bosquejar la gráfica de y = f(x-2) y y = f(x+4).

La gráfica de f(x)=x 2 se llamará gráfica de la función modelo . Los puntos principales de esta función son; (-1, 1), (0, 0) y (1, 1).

La gráfica de y =f(x-2) es la gráfica modelo desplazada dos unidades hacia la derecha. Por lo tanto en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos puntos se obtienen sumando 2 a las x. Los nuevos puntos son; (1, 1), (2, 0) y (3, 1) .

La gráfica y= f(x+4) es la gráfica de la función modelo desplazada cuatro unidades hacia la izquierda. Por lo tanto en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos puntos desplazados se obtienen restando cuatro a las x. Los nuevos puntos son; (-5, 1), (-4, 0) y (-3, 1).

Reflexiones (presione aquí para verlo en forma interactiva)

La reflexión o volteo es la imagen de espejo de una figura. También se puede decir que es el volteo de puntos y gráficas alrededor de los ejes.

Para graficar y=-f(x) refleje la gráfica de y=f(x) en el eje x . (Reflexión vertical)

Para graficar y=f(-x) , refleje la gráfica de y=f(x) en el eje y . (Reflexión horizontal)

Ejemplo 3: (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Utilizar la gráfica de f(x) = √(x) para bosquejar la gráfica de y = -f(x) y y = f(-x).

La gráfica de f(x)= √(x) se llamará gráfica de la función modelo . Los puntos principales de esta función son; (0, 0) y (1, 1).

La gráfica de y = -f(x) es la gráfica modelo reflejada con respecto al eje de x. Por lo tanto en los puntos reflejados cambian las y, los nuevos puntos se obtienen buscando el opuesto de las y. Los nuevos puntos son; (0, 0) y (1, -1) .

La gráfica y = f(-x) es la gráfica de la función modelo reflejada con respecto al eje de y. Por lo tanto en los puntos reflejados cambian las x, los nuevos puntos desplazados se obtienen buscando el opuesto de las x. Los nuevos puntos son; (0, 0) y (-1, 1).

Expansiones y Compresiones

Las expansiones y compresiones son transformaciones que cambian el largo o el ancho de la gráfica de una función. La forma general de la gráfica de una función se expande o comprime verticalmente u horizontalmente. Las expansiones y compresiones son consideradas transformaciones no rígidas. Ahora veremos como se realizan estas.

Expansiones y compresiones verticales (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Si a>1, la gráfica de y=f(x) se expande verticalmente por un factor a. (Se alarga)

Ejemplo 4: (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Utilizar la grafica de f(x) =│x│ para bosquejar la gráfica de y = 2f(x) y y = ½f(x).

La gráfica de f(x) =│x│ se llamará gráfica de la función modelo . Los puntos principales de esta función son; (-1, 1), (0, 0) y (1, 1).

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La gráfica de y = 2f(x) es la gráfica función modelo alargada verticalmente por un factor de dos unidades. Por lo tanto en los puntos alargados cambian las y, los nuevos puntos se obtienen multiplicando dos todas las y. Los nuevos puntos son; (-1, 2), (0, 0) y (1, 2) .

La gráfica y = ½f(x) es la gráfica de la función modelo encogida verticalmente por un factor de un medio. Por lo tanto en los puntos encogidos cambian las y, los nuevos puntos se obtienen multiplicando un medio a todas las y. Los nuevos puntos son; (-1,½), (0, 0) y (1, ½).

La gráfica de y=f(bx):

Si b>1 , la gráfica de y=f(x) se comprime horizontalmente por el factor 1/b . (Se encoge)

Si 0 , la gráfica de y=f(x) se expande horizontalmente por el factor de 1/b . (Se alarga)

Ejemplo 5: (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Utilizar la grafica de f(x) =│x│ para bosquejar la gráfica de y = f(2x) y y = f(½x).

La gráfica de f(x) =│x│ se llamará gráfica de la función modelo . Los puntos principales de esta función son; (-1, 1), (0, 0) y (1, 1).

La gráfica de y = f(2x) es la gráfica de la función modelo encogida horizontalmente por un factor del reciproco de dos unidades. Por lo tanto en los puntos encogidos cambian las x, los nuevos puntos se obtienen multiplicando por el reciproco de dos todas las x. Los nuevos puntos son; (-½, 1), (0, 0) y (½, 1) .

La gráfica y = f(½x) es la gráfica de la función modelo alargada horizontalmente por un factor del reciproco de un medio. Por lo tanto en los puntos alargados cambian las x, los nuevos puntos se obtienen multiplicando el reciproco de un medio todas las x. Los nuevos puntos son; (-2,1), (0, 0) y (2, 1).

Generalmente en las gráficas a dibujar se tienen que aplicar varias transformaciones. Es recomendado aplicar las transformaciones de reflejos y deformaciones inicialmente y luego se aplican las transformaciones de traslaciones. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 6: (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Dibujar la gráfica la función f(x)=[½(x-2)] 3 +1 .

La gráfica de f(x)=x 3 se llamará gráfica de la función modelo. Los puntos principales de la gráfica de esta función son; (-1, -1), (0, 0) y (1, 1) .

La gráfica de f(x)=(½x) 3 es la gráfica modelo expandida horizontalmente por un factor de 2 .

La gráfica de f(x)=[½(x-2)] 3 es la gráfica modelo expandida horizontalmente por un factor de 2 y desplazada hacia la derecha 2 unidades.

La gráfica de f(x)=[½(x-2)] 3 +1 es la gráfica modelo expandida horizontalmente por un factor de 2 , desplazada hacia la derecha 2 unidades y 1 unidad hacia arriba.

Ejemplo 7: (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Escribe la función representada en la siguiente gráfica.

El semicírculo es el modelo de la gráfica la función.

Contamos los espacios que forman el diámetro del semicírculo y su mitad es el radio de esté. El diámetro es 6 por lo tanto el radio es 3 .

Ahora se determina el desplazamiento horizontal. Cuanto se desplaza la gráfica del semicírculo a la derecha o izquierda. En esta ocasión se desplazo 1 unidad a la izquierda.

Finalmente se determina el desplazamiento vertical. Cuanto se desplaza l a gráfica del semicírculo hacia arriba o abajo. Esta gráfica se desplaza 1 unidad hacia abajo.

Tipos de gráficas: las diversas maneras de representar datos visualmente

Plasmar un conjunto algo confuso de datos en forma de imágenes simples es todo un arte.

Toda investigación de índole científico se apoya y base en un conjunto de datos debidamente analizado e interpretado. Para llegar a un punto en que podamos extraer relaciones de causalidad o de correlación es necesario observar múltiples observaciones de manera que se pueda falsear y comprobar la existencia de la misma relación en diferentes casos o en el mismo sujeto a través del tiempo. Y una vez hechas dichas observaciones hace falta tener en cuenta aspectos como la frecuencia, la media, la moda o la dispersión de los datos obtenidos.

Con la finalidad de facilitar la comprensión y el análisis tanto por parte de los mismos investigadores como de cara a mostrar la variabilidad de los datos y de donde salen las conclusiones al resto del mundo, es de gran utilidad emplear elementos visuales de fácil interpretación: las gráficas o gráficos.

En función de lo que queramos mostrar, podemos emplear diversos tipos de gráficas. En este artículo veremos diferentes tipos de gráficas que se emplean en investigación a partir del uso de la estadística.

El gráfico

A un nivel estadístico y matemático, denominados gráfica a aquella representación visual a partir de la cual pueden representarse e interpretarse valores generalmente numéricos. De entre las múltiples informaciones extraíbles de la observación de la gráfica podemos encontrar la existencia de relación entre variables y el grado en que se da, las frecuencias o la proporción de aparición de determinadas valores.

Esta representación visual sirve de apoyo a la hora de mostrar y comprender de manera sintetizada los datos recabados durante la investigación, de manera que puede tanto los investigadores que llevan a cabo el análisis como otros puedan comprender los resultados y resulte sencillo utilizarlo como referencia, como información a tener en cuenta o como punto de contraste ante la realización de nuevas investigaciones y metaanálisis.

Tipos de gráficas

Existen muy diversos tipos de gráficas, generalmente aplicándose unas u otras en función de lo que se pretenda representar o simplemente de las preferencias del autor. A continuación indicamos algunas de las más conocidas y comunes.

1. Gráfico de barras

El más conocido y utilizado de todos los tipos de gráficos es el gráfico o diagrama de barras. En éste, se presentan los datos en forma de barras contenidas en dos ejes cartesianos (coordenada y abscisa) que indican los diferentes valores. El aspecto visual que nos indica los datos es la longitud de dichas barras, no siendo importante su grosor.

Generalmente se emplea para representar la frecuencia de diferentes condiciones o variables discretas (por ejemplo la frecuencia de los diferentes colores del iris en una muestra determinada, que solo pueden ser unos valores concretos). Únicamente se observa una variable en las abscisas, y las frecuencias en las coordenadas.

2. Gráfico circular o por sectores

El también muy habitual gráfico en forma de “quesito”, en este caso la representación de los datos se lleva a cabo mediante la división de un círculo en tantas partes como valores de la variable investigada y teniendo cada parte un tamaño proporcional a su frecuencia dentro del total de los datos. Cada sector va a representar un valor de la variable con la que se trabaja.

Este tipo de gráfico o diagrama es habitual cuando se está mostrando la proporción de casos dentro del total, utilizando para representarlo valores percentuales (el porcentaje de cada valor).

3. Histograma

Aunque a simple vista muy semejante al gráfico de barras, el histograma es uno de los tipos de gráfica que a nivel estadístico resulta más importante y fiable. En esta ocasión, también se utilizan barras para indicar a través de ejes cartesianos la frecuencia de determinados valores, pero en vez de limitarse a establecer la frecuencia de un valor concreto de la variable evaluada refleja todo un intérvalo. Se observa pues un rango de valores, que además podrían llegar a reflejar intervalos de diferentes longitudes.

Ello permite observar no solo la frecuencia sino también la dispersión de un continuo de valores, lo que a su vez puede ayudar a inferir la probabilidad. Generalmente se utiliza ante variables continuas, como el tiempo.

4. Gráfico de líneas

En este tipo de gráfico se emplean líneas para delimitar el valor de una variable dependiente respecto a otra independiente. También puede usarse para comparar los valores de una misma variable o de diferentes investigaciones utilizando el mismo gráfico (usando diferentes líneas). Es usual que se emplee para observar la evolución de una variable a través del tiempo.

Un ejemplo claro de este tipo de gráficos son los polígonos de frecuencias. Su funcionamiento es prácticamente idéntico al de los histogramas aunque utilizando puntos en vez de barras, con la excepción de que permite establecer la pendiente entre dos de dichos puntos y la comparación entre diferentes variables relacionadas con la independiente o entre los resultados de distintos experimentos con las mismas variables, como por ejemplo las medidas de una investigación respecto a los efectos de un tratamiento, observando los datos de una variable pretratamiento y postratamiento.

8. Gráfico de dispersión

El gráfico de dispersión o gráfico xy es un tipo de gráfico en el cual mediante los ejes cartesianos se representa en forma de puntos todos los datos obtenidos mediante la observación. Los ejes x e y muestran cada uno los valores de una variable dependiente y otra independiente o dos variables de la que se esté observando si presentan algún tipo de relación.

Los puntos representados el valor reflejado en cada observación, lo que a nivel visual dejará ver una nube de puntos a través de los cuales podemos observar el nivel de dispersión de los datos.

Se puede observar si existe o no una relación entre las variables mediante el cálculo. Es el procedimiento que se suele usar, por ejemplo, para establecer la existencia de rectas de regresión lineal que permita determinar si hay relación entre variables e incluso el tipo de relación existente.

9. Gráfico de caja y bigotes

Los gráficos de caja son uno de los tipos de gráficas que tienden a utilizarse de cara a observar la dispersión de los datos y cómo éstos agrupan sus valores. Se parte del cálculo de los cuartiles, los cuales son los valores que permiten dividir los datos en cuatro partes iguales. Así, podemos encontrar un total de tres cuartiles (el segundo de los cuales se corresponderían con la mediana de los datos) que van a configurar la “caja “ en cuestión. Los llamados bigotes serían la representación gráfica de los valores extremos.

Este gráfico es útil a la hora de evaluar intervalos, así como de observar el nivel de dispersión de los datos a partir de los valores de los cuartiles y los valores extremos.

10. Gráfico de áreas

En este tipo de gráfico se observa, de manera semejante lo que ocurre con los gráficos de líneas, la relación entre variable dependiente e independiente. Inicialmente se hace una línea que une los puntos que marcan los diferentes valores de la variable medida, pero también se incluye todo lo situado por debajo: este tipo de gráfica nos permite ver la acumulación (un punto determinado incluye a los situados por debajo).

A través de él se pueden medir y comparar los valores de diferentes muestras (por ejemplo, comparar los resultados obtenidos por dos personas, compañías, países, por dos registros de un mismo valor….). Los diferentes resultados pueden apilarse, observándose fácilmente las diferencias entre las diversas muestras.

11. Pictograma

Se entiende por pictograma a un gráfico en el que, en vez de representar los datos a partir de elementos abstractos como barras o círculos, se emplean elementos propios del tema que se está investigando. De este modo se hace más visual. Sin embargo, su funcionamiento es semejante al del gráfico de barras, representando frecuencias de la misma manera

12. Cartograma

Este gráfico resulta de utilidad en el terreno de la epidemiología, indicando las zonas o áreas geográficas en las que aparece con mayor o menor frecuencia un determinado valor de una variable. Las frecuencias o rangos de frecuencias se indican mediante el uso del color (requiriéndose una leyenda para comprenderse) o el tamaño.

Tipos de gráficas: las diversas maneras de representar datos visualmente

Plasmar un conjunto algo confuso de datos en forma de imágenes simples es todo un arte.

Toda investigación de índole científico se apoya y base en un conjunto de datos debidamente analizado e interpretado. Para llegar a un punto en que podamos extraer relaciones de causalidad o de correlación es necesario observar múltiples observaciones de manera que se pueda falsear y comprobar la existencia de la misma relación en diferentes casos o en el mismo sujeto a través del tiempo. Y una vez hechas dichas observaciones hace falta tener en cuenta aspectos como la frecuencia, la media, la moda o la dispersión de los datos obtenidos.

Con la finalidad de facilitar la comprensión y el análisis tanto por parte de los mismos investigadores como de cara a mostrar la variabilidad de los datos y de donde salen las conclusiones al resto del mundo, es de gran utilidad emplear elementos visuales de fácil interpretación: las gráficas o gráficos.

En función de lo que queramos mostrar, podemos emplear diversos tipos de gráficas. En este artículo veremos diferentes tipos de gráficas que se emplean en investigación a partir del uso de la estadística.

El gráfico

A un nivel estadístico y matemático, denominados gráfica a aquella representación visual a partir de la cual pueden representarse e interpretarse valores generalmente numéricos. De entre las múltiples informaciones extraíbles de la observación de la gráfica podemos encontrar la existencia de relación entre variables y el grado en que se da, las frecuencias o la proporción de aparición de determinadas valores.

Esta representación visual sirve de apoyo a la hora de mostrar y comprender de manera sintetizada los datos recabados durante la investigación, de manera que puede tanto los investigadores que llevan a cabo el análisis como otros puedan comprender los resultados y resulte sencillo utilizarlo como referencia, como información a tener en cuenta o como punto de contraste ante la realización de nuevas investigaciones y metaanálisis.

Tipos de gráficas

Existen muy diversos tipos de gráficas, generalmente aplicándose unas u otras en función de lo que se pretenda representar o simplemente de las preferencias del autor. A continuación indicamos algunas de las más conocidas y comunes.

1. Gráfico de barras

El más conocido y utilizado de todos los tipos de gráficos es el gráfico o diagrama de barras. En éste, se presentan los datos en forma de barras contenidas en dos ejes cartesianos (coordenada y abscisa) que indican los diferentes valores. El aspecto visual que nos indica los datos es la longitud de dichas barras, no siendo importante su grosor.

Generalmente se emplea para representar la frecuencia de diferentes condiciones o variables discretas (por ejemplo la frecuencia de los diferentes colores del iris en una muestra determinada, que solo pueden ser unos valores concretos). Únicamente se observa una variable en las abscisas, y las frecuencias en las coordenadas.

2. Gráfico circular o por sectores

El también muy habitual gráfico en forma de “quesito”, en este caso la representación de los datos se lleva a cabo mediante la división de un círculo en tantas partes como valores de la variable investigada y teniendo cada parte un tamaño proporcional a su frecuencia dentro del total de los datos. Cada sector va a representar un valor de la variable con la que se trabaja.

Este tipo de gráfico o diagrama es habitual cuando se está mostrando la proporción de casos dentro del total, utilizando para representarlo valores percentuales (el porcentaje de cada valor).

3. Histograma

Aunque a simple vista muy semejante al gráfico de barras, el histograma es uno de los tipos de gráfica que a nivel estadístico resulta más importante y fiable. En esta ocasión, también se utilizan barras para indicar a través de ejes cartesianos la frecuencia de determinados valores, pero en vez de limitarse a establecer la frecuencia de un valor concreto de la variable evaluada refleja todo un intérvalo. Se observa pues un rango de valores, que además podrían llegar a reflejar intervalos de diferentes longitudes.

Ello permite observar no solo la frecuencia sino también la dispersión de un continuo de valores, lo que a su vez puede ayudar a inferir la probabilidad. Generalmente se utiliza ante variables continuas, como el tiempo.

4. Gráfico de líneas

En este tipo de gráfico se emplean líneas para delimitar el valor de una variable dependiente respecto a otra independiente. También puede usarse para comparar los valores de una misma variable o de diferentes investigaciones utilizando el mismo gráfico (usando diferentes líneas). Es usual que se emplee para observar la evolución de una variable a través del tiempo.

Un ejemplo claro de este tipo de gráficos son los polígonos de frecuencias. Su funcionamiento es prácticamente idéntico al de los histogramas aunque utilizando puntos en vez de barras, con la excepción de que permite establecer la pendiente entre dos de dichos puntos y la comparación entre diferentes variables relacionadas con la independiente o entre los resultados de distintos experimentos con las mismas variables, como por ejemplo las medidas de una investigación respecto a los efectos de un tratamiento, observando los datos de una variable pretratamiento y postratamiento.

8. Gráfico de dispersión

El gráfico de dispersión o gráfico xy es un tipo de gráfico en el cual mediante los ejes cartesianos se representa en forma de puntos todos los datos obtenidos mediante la observación. Los ejes x e y muestran cada uno los valores de una variable dependiente y otra independiente o dos variables de la que se esté observando si presentan algún tipo de relación.

Los puntos representados el valor reflejado en cada observación, lo que a nivel visual dejará ver una nube de puntos a través de los cuales podemos observar el nivel de dispersión de los datos.

Se puede observar si existe o no una relación entre las variables mediante el cálculo. Es el procedimiento que se suele usar, por ejemplo, para establecer la existencia de rectas de regresión lineal que permita determinar si hay relación entre variables e incluso el tipo de relación existente.

9. Gráfico de caja y bigotes

Los gráficos de caja son uno de los tipos de gráficas que tienden a utilizarse de cara a observar la dispersión de los datos y cómo éstos agrupan sus valores. Se parte del cálculo de los cuartiles, los cuales son los valores que permiten dividir los datos en cuatro partes iguales. Así, podemos encontrar un total de tres cuartiles (el segundo de los cuales se corresponderían con la mediana de los datos) que van a configurar la “caja “ en cuestión. Los llamados bigotes serían la representación gráfica de los valores extremos.

Este gráfico es útil a la hora de evaluar intervalos, así como de observar el nivel de dispersión de los datos a partir de los valores de los cuartiles y los valores extremos.

10. Gráfico de áreas

En este tipo de gráfico se observa, de manera semejante lo que ocurre con los gráficos de líneas, la relación entre variable dependiente e independiente. Inicialmente se hace una línea que une los puntos que marcan los diferentes valores de la variable medida, pero también se incluye todo lo situado por debajo: este tipo de gráfica nos permite ver la acumulación (un punto determinado incluye a los situados por debajo).

A través de él se pueden medir y comparar los valores de diferentes muestras (por ejemplo, comparar los resultados obtenidos por dos personas, compañías, países, por dos registros de un mismo valor….). Los diferentes resultados pueden apilarse, observándose fácilmente las diferencias entre las diversas muestras.

11. Pictograma

Se entiende por pictograma a un gráfico en el que, en vez de representar los datos a partir de elementos abstractos como barras o círculos, se emplean elementos propios del tema que se está investigando. De este modo se hace más visual. Sin embargo, su funcionamiento es semejante al del gráfico de barras, representando frecuencias de la misma manera

12. Cartograma

Este gráfico resulta de utilidad en el terreno de la epidemiología, indicando las zonas o áreas geográficas en las que aparece con mayor o menor frecuencia un determinado valor de una variable. Las frecuencias o rangos de frecuencias se indican mediante el uso del color (requiriéndose una leyenda para comprenderse) o el tamaño.

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